自习室 » 讨论
毕业水文读书

毕业论文是研究非欧几何史。话说我感觉这个组里面高中生的水平比我混了四年大学的都高
今天的任务是看完黎曼就职演讲的选段。

今日任务：看完剩下的黎曼演讲+庞加莱开头；

为什么组里会有高中生啊，现在已经这么卷了吗

看完了，导师布置的寒假任务全部完成。
今天任务是复习一下Boyai和罗巴切夫斯基。

不如看看论文

看罗巴切夫斯基写的《Pangeometry》，看着看着发现不对，一翻看到后面果然……一大堆一大堆的公式——二手资料，启动！
现在感觉周一应该能跟老师全部汇报了，然后让他决定需不要再添加一些技术内容，以让我的论文更“数学”一些

暂时整理出的一些想法：
在之前的汇报中提到了罗氏几何中一个带“距离”的公式。老师问我，可是罗氏几何中的距离是什么？罗巴切夫斯基是如何考量距离的？我说不知道从来没有想过这个问题。
所以这几天一直在“玄思”何为距离。我慢慢开始觉得这其实是个语言（-逻辑）哲学的问题。
考古地讲，罗巴切夫斯基至少在《Pangeometry》中是直接给出的这个距离。
用黎曼的度量或者说“第一基本形式”来根本性地解释“距离”是行不通的，高斯、黎曼的度量/第一基本形式实际上是通过坐标来规定任意的距离，然而一开始的“坐标”之中就已经蕴含“距离”的概念了。度量只是从坐标中计算出距离的方法。
国内某位导师带出来多位研究非欧几何史的学生都持有一个观点，由于罗巴切夫斯基几何中一个特定的公式，导致在角度和长度之间可以建立一个在某种意义上自然的一一对应关系，因此他们认为罗巴切夫斯基的思想关键是以角度定义长度。
（这个公式，粗略地说，描述了在某一给定空间（该空间的性质由某一常数给出（正如我们的空间是由真空中光速、万有引力常数等等给出））内，某点到某直线的垂线段的长度，与过该点能够做的该直线的平行线与上述垂线段之间最小的夹角之间的一一对应关系。（乍一听不知道在说什么，是因为在我们熟悉的欧氏几何内过直线外的某点至多只能做一条该直线的平行线，而在罗氏几何内，过该点一定能做无穷多条与该直线平行的线。））
他们的说法有几个问题：1、这样的规定根本没说清任何东西，只是把关于长度的晦涩扫入了角度的领域——所以角度是什么呢？2、量之间的一一对应并不能说明谁更“本原”。事实上，弧度不就是从长度关系中“生产”出来的吗？为什么该公式不是对于“角度被决定”，而是“角度去决定”的描述呢？为了从一一对应导出“本原程度”，我们至少需要更多的依据。3、考古地讲，至少从罗巴切夫斯基的《Pangeometry》中也很难说透露出这种“角度本体论”，他从来说的都是该夹角依赖于（depends on）那一垂线段长度。

罗氏空间中的“距离”是什么？为何此处可有一问？欧氏几何中欠此一问吗？他直接给出距离的操作正当吗？如何探究这个问题才是合理的？
Beltrami-Klein模型是一套用以解释罗氏几何的模型，它指出罗氏几何实际上是“伪球面”上的内蕴几何（呃，这个概念如果要向还没有学习微分几何的人解释的话，我的水平只能理解到：形状就是空间，空间即是形状。所以，像是球面几何这样的东西，事实上和二维欧氏几何具有同样的“地位”）。Poincare圆盘模型则在一个圆盘之内通过特定的手段描述整个罗氏几何空间。这两套模型的最大贡献在于提供了罗氏几何的直观（不用再忍受非欧几何一张图内用直线、曲线符号和直线、曲线含义的排列组合占尽的情况），同时也建立了一套从欧氏距离翻译出罗氏距离的方式。
这两套模型不通过罗氏空间内部的基本量，而是通过外部空间规定罗氏空间内部的基本量。可是，那么什么是欧氏几何中的距离呢？为何我们会觉得欧氏几何不欠此一问，而罗氏几何应有一问呢？因为欧氏几何的距离是“直观”的？
在罗氏几何提出后，我们的空间究竟遵不遵循欧氏规律，便成了疑问。因此我们对于欧氏几何如何适用于世界的知识（先验性），便不可能是“先天的”，而只是一种“熟悉”和“对简单的偏好”。（正如哥白尼会偏好，要是行星围绕太阳做匀速圆周运动该多好啊，而一个更贴近事实的描述是行星是围绕太阳系的质心做椭圆变速运动，而且一个还要更贴近事实的描述是广义相对论。）（简单性是真理的标志——真的吗？）
欧氏几何只是众多内蕴几何的一种（平面内蕴几何），没有道理享受地位的优待。


此外仍有一些没有被整理的想法，我还得再想想。

刚跟老师汇报完，老师还是说我整挺好。
其实就把所学内容开头的1/5报告了，但这就花了2h。因为有的地方不是很熟练，但是老师帮忙解决了不少。
这回内容很多，说不定真的会忘，准备把罗巴切夫斯基论证的框架一层一层地捋下来。
后面还要准备复试。一鼓作气，少玩一点。一定要把两边都做好。我感觉就算是水文也可以做出一些东西的。

比想象中艰难许多。
反复删改，原地踏步。
今天晚上略有转机。

继续写平行角。果然几何基础之后的内容不难。
加油
打算跟导师预约一下初稿的时间

只剩最后一章了，加油特种兵。
这几天看番看得人处于25小时兴奋